MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

La palabra matemática proviene del griego mathema, que significa ciencia, conocimiento, aprendizaje. De acuerdo a su etimología es la ciencia que estudia las propiedades de entes abstractos (números, figuras geométricas, etc.), así como las relaciones que se establecen entre ellos.

La matemática es una ciencia lógica deductiva, que utiliza símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Las matemáticas no nacieron plenamente formadas. Fueron haciéndose gracias a los esfuerzos acumulativos de muchas personas que procedían de muchas culturas y hablaban diferentes lenguas, algunas ideas matemáticas que se siguen usaron hoy en día datan de hace más de 4000 años.

• FUNCIÓN EXPONENCIAL

       En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes decrecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

•Definición de función exponencial

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se  cumple   que:  

•Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:f (0) = a0 = 1.

La función exponencial de 1 es siempre igual a la base : f (1) = a1 = a.

La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?).

La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo :f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?)

•La función ex

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:

(1 + 1/n)n

cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos (ver t34).

La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.

•Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.

Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

•Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay.

En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.

•Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.22x - 3 × 2x - 4 = 0  t2 - 3t - 4 = 0

luego se ?deshace? el cambio de variable.

Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

 FUNCIÓN LOGARÍTMICA                                                                                                   Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que: loga x = b Û ab = x.

•Función Cúbica.                                                                                                             Es generalmente utilizada para relacionar volúmenes en determinados espacio o tiempo. Otro ejemplo es el relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza se puede determinar la semanas de gestación del feto. También el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Se utiliza más en el campo de la economía y de la física.

•Definición

La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IR

•Función Cúbica

Un ejemplo de función cúbica es: y = f(x) = x3, es la llamada: parábola cúbica.

•Ejemplos

Grafique y analice las propiedades de la siguientes funciones a) f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x Propiedades                                                                                                                                             Dominio: El conjunto de los Reales

Imagen: El conjunto de los Reales

Ceros de la función: Se iguala la función a cero 2x3 + 3x2 - 12x = 0 x( 2x2 + 3x - 12) = 0 Extrayendo factor común x = 0 ( 2x2 + 3x + 12)= 0 Igualando a cero ambos factores y realizar la descomposición.

Simetría: Demostrar que cumple f(-x)=-f(x). Para demostrar la simetría analíticamente de selecciona un número cualesquiera y su opuesto ejemplo 1 y -1 Demostrar que f(-1) = - f(1)

f(-1) = 2(-1)3 + 12 . (-1)2 + 2. (-1 )  =  2.(-1)  + 12 . 1  - 2     =  -2  + 12  -  2      =  10 - 2  =  8

f(1) = 2(1)3 + 12 . (1)2 + 2. (1 ) =    2.(1)  -  12 . 1  +  2  =    2  - 12 + 2  =   -10 +2=-8